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 * @lc app=leetcode.cn id=343 lang=cpp
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 * [343] 整数拆分
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 * https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/description/
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 * algorithms
 * Medium (61.63%)
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 * Total Accepted:    163.7K
 * Total Submissions: 265.4K
 * Testcase Example:  '2'
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 * 给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。
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 * 返回 你可以获得的最大乘积 。
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 * 示例 1:
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 * 输入: n = 2
 * 输出: 1
 * 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
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 * 示例 2:
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 * 输入: n = 10
 * 输出: 36
 * 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
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 * 提示:
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 * 2 <= n <= 58
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 * 
 */

// @lc code=start
class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        // 这里初始化n+1个空间，是因为最后求得是dp[n],
        // 虽然dp[0]和dp[1]不存在，但是空间是保留的，而dp[n]的size是n+1
        vector<int> dp(n+1);
        dp[2] = 1;
        // 这里初始化i,就是从头捋清楚dp[i],也即是从3开始，
        // 最终的结果是n,求得就是dp[n]
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            // 初始化j，求得是每一个dp[i]的时候，分解i,其实就是分解n的一个逻辑
            // j的最终值是j-2? 原因是当i分解为i-1和1时，需要求dp[1],这个结果是不存在的
            // 所以i最多只能分解成i-2和2，
            // 但是是从1开始的，i分解成1和i-1,dp[i-1]是存在的。
            for(int j = 1; j < i-1; j++) {
                // 内层的max是计算，在本轮当i分解成j和i-j时，计算求得的dp[i]
                // 外层的max是把 上一轮儿i分解成j'和(j-i)'的最大的dp[i]'与本轮的dp[i]进行比较，选一个最大的dp[i]
                dp[i] = max(dp[i], j * max(j-i, dp[jj-i]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
// @lc code=end

